郝四柱毛亚玲数美共育名师工作室：初遇微分，从面到体的量化特征

初遇微分，从面到体的量化特征

1.寻找结构美的眼睛

扇形面积与圆锥体积，耳熟能详的公式背后，是否有值得挖掘的数美宝藏？同学们在扇形面积课上提出了这样一个问题，扇形面积公式中的，圆锥体积公式中的是怎么来的？

2.重温逻辑美的历程

我们回顾圆的面积公式πr²，通过若干条极细、极密，长度为半径的线段，将圆分成若干份，当分的足够多时，每一份都可以近似看做一个三角形，将这些三角形再拼成一个边长为πr，高为r的平行四边形，面积自然为πr²。这个过程渗透了微分的思想，美妙而自然。

3.迁移构造微分的经验

赵同学说，迁移构造微分的眼光，可以无限分割扇形和圆锥：通过若干条极细、极密的曲线段，将扇形分成若干份，每一份都可以看做是一个矩形，再将矩形从下到上堆叠，可以形成一个底边为弧长AB，高为r的等腰三角形，则扇形面积为弧长乘高的二分之一。

同样的，通过若干个极密的平面，将圆柱分成若干份，每一份都可以看做是一个三棱柱，我们可以通过等积变换，得到微分圆锥部分体积与其余两块体积相等，圆锥体积是圆柱体积的，即为底面面积乘高的三分之一。

圆锥体积和扇形面积的推导方法与圆面积一脉相承，初遇微分，从1/2到1/3，它不是偶然，而是面积与体积的必然特征，当我们并不把一个简单的公式看做理所当然，寻找背后的逻辑美和结构美，就可以从跨出一小步，到打开一扇理解数学、欣赏数学、创造数学的大门。