【郝四柱工作室】饮生活之水，纳历史之光，达思维之根

饮生活之水，纳历史之光，达思维之根

——有理数加减法混合运算

郝四柱

1基本情况

1 . 1 教学重点

通过学生自主思考和合作讨论反思对于加减法的理解，积累和形成加减法的通透理解．

1 . 2 教学难点

如何从生活角度进行数学思考和探究，降低思维抽象性，实现数学思维可视化．

2教学过程

2.1情境设置

同学们，在中国古代，没有绝对值、相反数、数轴等概念，那么中国古代是如何理解有理数加减法？比如一个商铺，由于当时人员流动比较小，对于来来往往的人员都熟悉. 当时由于经济条件和生活水平的限制，往往可以欠账. 商铺就把这些账目记录下来，就是我们常说的流水账．

（1）某商店现在有一个记账本上面有一些流水账（欠商店的钱记为负，给商店钱记为正,单位：元）；钱某：．请你说说这里每一笔帐的含义．

1. 继续说出下列账面的含义：－(+2)+(－2)－(－2)．

【片段1】老师在第一问生活理解的基础上，追问：

师：+(－2)什么意思？

生1：给了－2元．

师：给2元好理解，给－2元是什么意思？

生1：给－2元就是欠2元.

师：那结果就是：？

生1：+(－2)=－2．

师：很好，用相反意义来理解；那么－(－2)又是什么意思？

生2：欠了－2元．

师：欠了2元好理解，欠了－2元？

生2：欠了－2元就是给商店2元．

师：那－(－2)结果就是：？

生2：－(－2)=+2．

师：嗯，那么－(－2)=+2还有有什么角度去理解？

大家讨论看看．

生3：敌人的敌人是朋友（有些争议声）．

生4：双重否定就是肯定．

师：你能举个例子？

生4：你作业不是不会做，意思是：应该会做．

师：不错.

2.2问题解决

例题1

题号	记 账 单	合 计	理解的方法
1	小王：- 3 - 2		同号说明意义相同
2	小赵： +3 + 2
3	小张： - 3 + 2		异号说明意义相反
4	小李： +3 - 2
5	小郑： -2 +3
6	小刘：	- (4+1)
7	小陈：	- (4-1)
8	小周：	+  (4-1-3+5)
9	小朱：	- (4-1-3+5)
10	- a - b
11		- (a-b)
12	b-a

 

【片段2】老师在第一问生活理解的基础上，追问：

师：题1中，－3－2什么意思？如何计算？

生5：欠了3元，又欠了2，一共欠5元，就是－5．

师：为什么欠5元，这两次账目是累加还是抵消？

生5：累加．

生6：一个人第一次欠3元，就是该给商店3元，第二次欠2元，就是该给商店2元，两次该给商店5元. 而现在欠着，就是－5．

师：题3中，－3+2什么意思？如何计算？

生7：欠了3元，又还了2，还欠1元．

师：这两次账目是累加还是抵消？

生7：抵消．

师：是欠的多还是给的多？

生7：欠的多，所以结果为负；－（3－2）=－1．

【片段3】

师：题6中，结账时出现 - (4＋1)说明之前账目是什么情况？

生8：说明第一次欠4元，第二次欠1元，两次是累加关系．

师：题7中，结账时出现 - (4﹣1)说明之前账目是什么情况？

生9：说明第一次欠4元，第二次想少欠一元，于是给商店一元. 两次是抵消关系．

师： - (4﹣1)=-4+1．

生10：括号外是负的，里面的意思就应该是反的. 里面4得到﹣4，里面﹣1得到﹢1

师：题10中，如果商店主人记不住顾客的账目，只是记着﹣a﹣b，累计的结果为：

生11：﹣（a+b）．

师：题11：合计的结果是﹣（a﹣b）说明之前的含义：？

生12：先欠a元，后来给了b元．

师：题12中，b-a合计多少．

生13：﹢（b﹣a）．

师：但是不知道欠的多还是给的多呀？请大家讨论一下．

生14：还有可能是﹣（a﹣b）．

师：因此b-a=﹢（b﹣a）=﹣（a﹣b）．

例题2：张某经常在该商店买东西；记账单上显示：．

如果你是商店老板，那么你能把这个账单合计一下，算出结果吗？

（学生用凑0法、同号结合法等方法很快解决.）

例题3：你能说出该商店合计时出现的式子：．是什么含义吗？请你把帐算清．

例题4：你能说出该商店合计时出现的式子：．是什么含义吗？请你把帐结清．

例题5：你能说出该商店合计时出现的式子：．

是什么含义吗？请你把帐结清．

（以上例题2—5，学生通过正负数的含义很快解决）

例题6：计算 ．

【片段4】

师：例题6这一题怎么解？问题是括号内计算时很麻烦的 .

生15：先去括号，然后用加法交换律，结合律．（老师根据学生思路板书）．

解：原式=

=4+3+4+5+…+50=4+=1276．

2.3总结：

同学们今天理解的非常好，这种相抵与累加的算法是我们老祖宗很久以前就掌握的．对于历史文化遗

产，我们要好好的珍惜，好好的挖掘．大家不仅会有理数加减法混合运算，而且顺利的解决了去括号、添括号方法，同学们太棒了.

3 总结与反思

1. 案例设计的灵感来源

在教学中，有不少学生根本不用有理数加减法法则却能够算出加减法运算，而有的基础薄弱学生用了课本加减法法则饶了一大圈之后，一头雾水，以至于—1—1=0或1或2这一类奇怪的结果，在纠错的时候，老师给他们讲解的时候是说：这个式子就是：比—1少1的数是多少？他们能够得出—2；或者欠一块钱，然后又欠一块钱，一共多少？学生立刻理解. 这些问题的纠错让我们知道：法则的应用不是唯一的路，这些在生活中比比皆是的例子，具有：问题直接、转化简洁、解法快捷，我们可以也应该从容易的角度入手，让更多的学生跨进数学大门. 这就是我们提出的：“最低发展区”思想.

1. 什么是“最低发展区”.

“最低发展区”不仅包含数学的最基本知识、方法，还包括数学教学时采用的是动手操作还是讨论、讲授等，更为关键的是：还包括学生的生活背景和学生基本能力、年龄段特有的兴趣、心理等 . 教学过程中让数学在生活逻辑、历史渊源、创新思考等情境下展开，进行知识的逻辑生长，从而改变课本原有的知识结构体系，减轻抽象的思维跨度，连接实实在在的生活逻辑，从而加固课本知识逻辑的韧带，增加相关知识链接的角度、方法，从而让数学内涵和底蕴更加厚实，让数学更加好玩 .

1. 在教学中“最低发展区”的可能性.

数学的发展具有源远流长的历史；其中许多内容背后都有着一定的故事；而故事背后一定存在着一个认知的原始出发点；那么这个出发点就是思考这一类问题的根.

对于正负数加减运算，民间老百姓都能很好的理解，具有强大的生活基础. 中国历史上，《九章算术》里的“正负数”就有这类具体描述：“正负术曰：同名相益（意思为累加），异名相除（意思为抵消）”。正是本文中的数学加减法的一种本源方法.

总之，初中数学不是空中楼阁，而是来源于生活经验和历史积淀；同样的，学生的数学知识和思维方法、路径总是有其最基本的生活背景的，因此学生的学习总是存在着一种近乎源头的的那个出发点. 这就为数学教学时，提炼和建构“最低发展区”提供可能.

（4）“最低发展区”必要性.

我们初中学生正是从形象思维向抽象思维不断提升的过程. 学习的发展必须打好基础. 当然这个基础不仅仅是知识，更在于知识产生的土壤、学生知识发展的逻辑能力、学生的情趣爱好、认知的通透层度等等. 学生对于数学的认知尽可能的变得纯粹和爱好，才能让学生真正变成学生自己的数学，而不是老师的数学. “最低发展区”认知需要深刻反思：学生的发展根基越广泛、越牢固、越基本，那么学生后续的发展就越有动力、越有能力和认知力，这就是基于“最低发展区”，“拓展最近发展区”，提升“最高发展力”的通透教育信念. 那种“基础”不足情况下的高度提升，数学学习的大厦会随时出现危机，甚至倒塌. 让我们的数学教学下接地气，上达天庭，上下通透，蕴含灵气吧.